Информатика
Лемма 4. Результатами выполнения алгоритма
x(k) := xmn x(k) = xmn
кцикл next k
кон return
Лемма 4. Результатами выполнения алгоритма сортировки массива будут последовательность чисел, упорядоченная по возрастанию
х(1)' £ х(2)' £ ... £ x(N)'
и последовательность индексов в массиве L[1:N], удовлетворяющих условиям
x(k)' = p(L(k)) для всех k = 1, .... N.
Доказательство. Первое утверждение об упорядоченности значений х(1)' £ х(2)' £... £ x(N)' массива x[l:N] по завершении алгоритма следует из доказательства правильности алгоритма упорядочения последовательности чисел. Для доказательства второго утверждения рассмотрим результаты перестановок значений элементов:
Imn := L(imn) Imn = L(imn)
xmn
:= x(imn) xmn = x(imn)
L(imn) := L(k) L(imn)' = L(k)
x(imn) := x(k) x(imn)' = x(k)
L(k) := Imn L(k)' = Imn = L(imn)
x(k) := xmn x(k)' = xmn = x(imn)
Перед началом выполнения алгоритма упорядочения массива в алгоритме сортировки данных массив индексов L[1:N] и упорядочиваемый массив x[l:N] получают значения, удовлетворяющие следующим соотношениям:
х(i)' = P(L(i) для всех i = 1, ..., N.
Покажем, что эти соотношения сохраняются после каждого шага цикла. Действительно, на каждом очередном k-м шаге цикла будут получены следующие результаты:
Imn = L(imn)
xmn = x(imn) == p(L(imn))
L(imn)' = L(k)
x(imn)' = x(k) = p(L(k)) = p(L(imn)')
L(k)' = Imn = L(imn)
x(k)' = xmn = x(imn) = p(L(imn)) = p(L(k)')
Следовательно, после каждого шага цикла для переставленных элементов массивов сохраняются соотношения
